- Правила Фейнмана
-
Правила Фе́йнмана в квантовой теории поля — правила соответствия между вкладами определенного порядка теории возмущений в матричные элементы матрицы рассеяния и диаграмм Фейнмана. Регулярный вывод правил Фейнмана основан на применении теоремы Вика для хронологических произведений к хронологическим произведениям полевых операторов, через интегралы от которых выражаются вклады в матрицу рассеяния. В правилах Фейнмана центральную роль играют пропагаторы квантовых полей, равные их хронологическим спариваниям, то есть вакуумным ожиданиям от парных хронологических произведений:
которые также равны причинным функциям Грина этих полей:
Наряду с пропагаторами , которым в диаграммах Фейнмана соответствуют линии, соединяющие точки х и у, и которые полностью характеризуют взаимодействующие поля, правила Фейнмана включают элементы, описывающие механизм взаимодействия и отражающие структуру лагранжиана взаимодействия рассматриваемой квантовополевой модели.
Существуют две разновидности правил Фейнмана
- правила в координатном представлении, на основе которых можно сопоставить диаграммы вкладам в S-матрицу, выраженным через операторные полевые функции
- более полезными оказываются правила Фейнмана в импульсном представлении, которые служат непосредственно для построения матричных элементов переходов между физ. состояниями, характеризуемыми наряду с прочими квантовыми числами значениями 4-импульсов частиц.
В дальнейшем термином «правила Фейнмана» будем называть именно правила Фейнмана в импульсном представлении.
В этом представлении вместо вышеприведенных выражений используют их фурье-образы , которым на диаграмме Фейнмана соответствуют внутренние линии, по которым как бы движутся частицы с импульсом р. Места встречи линий — вершины — описывают взаимодействия частиц. Поэтому, согласно правилам Фейнмана, вершинам отвечают множители в матричных элементах, передающие структуру лагранжианов взаимодействия. В качестве иллюстрации в таблице приведены правила соответствия для квантовой электродинамики в диагональной (иначе фейнмановской) калибровке электромагнитного поля.
Правила Фейнмана для квантовой электродинамки Элементы Диаграммы Фактор в S-матричном элементе название изображение 1 Вершина 2 Внутренняя фотонная линия 3 Внутренняя электронно-позитронная линия 4 Внешняя фотонная линия 5 Внешняя выходящая электронная линия 6 Внешняя выходящая линия 7 для построения вклада n-го порядка по e в матричный элемент заданного процесса следует нарисовать все диаграммы, содержащие ровно n вершин, соединяющие их внутренние линии и заданный набор внешних линий, определяемый суммарно начальным и конечным состоянием рассматриваемого процесса. При этом следует иметь в виду, что направления, указанные стрелками на электронных линиях, отвечают движению позитрона против направления стрелок 8 каждой из этих диаграмм по правилам соответствия из табл. путём перемножения факторов из правой колонки, упорядоченных по движению вдоль электронных линий, ставится в соответствие выражение, которое затем должно быть проинтегрировано по 4-импульсам и просуммировано по всем индексам всех внутр. линий; 9 если в диаграмме имеется замкнутых электронных петель, то всё выражение должно быть умножено на (— 1)l 10 если в диаграмме имеется топологическая симметрия k-го порядка, то есть можно переставить k вершин, не изменив топологию диаграммы, то следует добавить множитель (k!)−1 11 если в начальном или конечном состоянии имеются тождественные частицы, то следует провести соответствующую симметризацию. Выражение, стоящее в первой строке таблицы правил соответствия, отвечает структуре лагранжиана взаимодействия , за исключением множителя , который учитывает тот факт, что вклад n-го порядка в S-матрицу содержит множитель :
Две следующие строчки содержат пропагаторы полей, а затем в правилах соответствия фигурируют вектор поляризации фотона и неквантованные дираковские спиноры , являющиеся решениями свободного уравнения Дирака и отвечающие электронам (и/или позитронам) в начальном и конечном состояниях.
Пример применения
Пользуясь приведёнными правилами Фейнмана, получим матричный элемент процесса е−+е− → е−+е− (то есть мёллеровского рассеяния электронов) в низшем, втором по e, порядке теории возмущений. Единственной диаграммой оказывается диаграмма, приведённая на рис. 6. Используя введённые на этом рисунке импульсные обозначения, положим, что импульсы электронов в начальном состоянии равны p1 и р2, а электроны конечного состояния обладают импульсами — q1 , q2 (при этом, разумеется, q10 < 0, q20 < 0). Используя правила (1), (2), (5), (6) и (8), находим:
Согласно правилу (11), это выражение следует ещё антисимметризовать по электронам начального и конечного состояний.
Из релятивистской квантовой теории поля метод диаграмм Фейнмана и правила Фейнмана непосредственно переносится в квантовую статистику при нулевой температуре и без труда формулируется для теории возмущений при конечной температуре.
См. также
Литература
- Feynman R. P., Space-time approach to quantum electrodynamics, «Phys. Rev.», 1949, v. 76, p. 769
- Фейнман Р., Квантовая электродинамика, пер. с англ., М., 1964 djvu-формат книги
- Биленький С. М., Введение в диаграммную технику Фейнмана, М., 1971
- Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1993.
Категория:- Квантовая теория поля
Wikimedia Foundation. 2010.